Odpor a impedance ve střídavém obvodu

Chcete vytvořit web? Najděte bezplatná témata a pluginy WordPress. Vztahy i-v rezistorů, kondenzátorů a induktorů lze vyjádřit ve fázorovém zápisu. Jako fázory má každý vztah iv formu zobecněného Ohmova zákona: V=IZV=IZ, kde fázorová veličina Z je známá jako impedance. Pro rezistor, induktor a kondenzátor jsou impedance v tomto pořadí: ZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωCZR=RZL=jωLZC=1jωC=−jωC Kombinace rezistorů, induktorů a kapacity mohou být reprezentovány jedinou ekvivalentní impedancí tvaru: Z(jω)=R(jω)+jX(jω)jednotky Ω (ohmy)Z(jω)=R(jω)+jX(jω)jednotky Ω (ohmy) Kde R (jω) a X (jω) jsou známy jako „odporové“ a „reaktantní“ části ekvivalentní impedance Z. Oba členy jsou obecně funkcemi frekvence ω. Admitance je definována jako převrácená hodnota impedance. Y=1zjednotky S (Siemens)Y=1zjednotky S (Siemens) V důsledku toho lze všechny vztahy a techniky stejnosměrných obvodů představené v kapitole 3 rozšířit na střídavé obvody. Není tedy nutné učit se nové techniky a vzorce pro řešení střídavých obvodů; je pouze nutné naučit se používat stejné techniky a vzorce s fázory. Zobecněný Ohmův zákon Koncepce impedance odráží skutečnost, že kondenzátory a induktory fungují jako frekvenčně závislé odpory. Obrázek 1 znázorňuje obecný střídavý obvod se sinusovým zdrojem napětí VS fázorem a impedanční zátěží Z, která je také fázorem a představuje účinek obecné sítě rezistorů, kondenzátorů a induktorů. Obrázek 1 Koncepce impedance Výsledný proud I je fázor určený: V=IZZobecněný Ohmův zákon (1)V=IZZobecněný Ohmův zákon (1) Specifický výraz pro impedanci Z je nalezen pro každou specifickou síť rezistorů, kondenzátorů a induktory připojené ke zdroji. K určení Z je nejprve nutné určit impedanci rezistorů, kondenzátorů a induktorů pomocí: Z=VIDefinice impedance(2)Z=VIDefinice impedance(2) Jakmile je impedance každého rezistoru, kondenzátoru a induktoru v síti Jak známo, mohou být kombinovány sériově a paralelně (za použití obvyklých pravidel pro rezistory), aby vytvořily ekvivalentní impedanci „viděnou“ zdrojem. Impedance rezistoru Vztah iv pro rezistor je samozřejmě Ohmův zákon, který je v případě sinusových zdrojů zapsán jako (viz obrázek 2): Obrázek 2 Pro rezistor platí VR(t)=iR(t)R vR(t)=iR(t)R(3)vR(t)=iR(t)R(3) nebo ve fázorovém tvaru VRejωt=IRejωtRVRejωt=IRejωtR kde VR=VRejθtVR=VRejθt a IR=IRejθtIR=IRejθt jsou fázory. Obě strany výše uvedené rovnice lze vydělit ejωt a získat: VR=IRR(4)VR=IRR(4) Impedance rezistoru je pak určena z definice impedance: ZR=VRIR=R(5)ZR= VRIR=R(5) Tedy: ZR = R Impedance rezistoru Impedance rezistoru je reálné číslo; to znamená, že má velikost R a nulovou fázi, jak je znázorněno na obrázku 2. Fáze impedance je rovna fázovému rozdílu mezi napětím na prvku a proudem procházejícím stejným prvkem. V případě rezistoru je napětí zcela ve fázi s proudem, což znamená, že mezi průběhem napětí a průběhem proudu v časové oblasti není žádné časové zpoždění ani časový posun. Obrázek 2 Fázorový diagram impedance rezistoru. Pamatujte, že Z=V/L Je důležité mít na paměti, že fázorová napětí a proudy ve střídavých obvodech jsou funkcemi frekvence, V = V (jω) a I = I (jω). Tato skutečnost je zásadní pro určení impedance kondenzátorů a induktorů, jak je uvedeno níže. Impedance induktoru Vztah iv pro induktor je (viz Obrázek 3): Obrázek 3 Pro induktor vL(t)=LdiL(t)dt(6)vL(t)=LdiL(t)dt(6). bod, je důležité postupovat opatrně. Výraz v časové oblasti pro proud procházející induktorem je: iL(t)=ILcos(ωt+θ)(7)iL(t)=ILcos⁡(ωt+θ)(7) Tak, že ddtiL(t)=− ILωsin(ωt+θ)=ILωcos(ωt+θ+π/2)=Re(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re[IL(jω)ejωt+θ]ddtiL(t)=−ILωsin⁡(ωt+θ) =ILωcos⁡(ωt+θ+π/2)=Re⁡(ILωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[IL(jω)ejωt+θ] Všimněte si, že čistým efektem časové derivace je vytvoření navíc ( j ω) člen spolu s komplexním exponenciálním vyjádřením iL(t). To je: Časová doména Frekvenční doména d/dtd/dt jωjω Proto fázorový ekvivalent vztahu iv pro induktor je: VL=L(jω)IL(8)VL=L(jω)IL(8) Impedance induktor se pak určí z definice impedance: ZL=VLIL=jωL(9)ZL=VLIL=jωL(9) Tedy: ZL=jωL=ωL∠π2 Impedance induktoru (10)ZL=jωL=ωL∠π2 Impedance induktoru (10) Impedance induktoru je kladné, čistě imaginární číslo; to znamená, že má velikost ωL a fázi π/2 radiánů neboli 90◦, jak je znázorněno na obrázku 4. Stejně jako dříve je fáze impedance rovna fázovému rozdílu mezi napětím na prvku a proudem procházejícím stejným prvkem. V případě induktoru předbíhá napětí proud o π/2 radiánů, což znamená, že rys (např. bod překročení nuly) napěťového průběhu nastane o T /4 sekundy dříve než stejný rys aktuálního průběhu. T je společné období. Všimněte si, že induktor se chová jako komplexní frekvenčně závislý odpor a že jeho velikost ωL je úměrná úhlové frekvenci ω. Induktor tedy „brzdí“ tok proudu úměrně frekvenci zdrojového signálu. Při nízkých frekvencích se induktor chová jako zkrat; při vysokých frekvencích se chová jako otevřený obvod. Obrázek 4 Fázorový diagram impedance induktoru. Pamatujte, že Z=V/L impedance kondenzátoru Princip duality naznačuje, že postup pro odvození impedance kondenzátoru by měl být zrcadlovým obrazem výše uvedeného postupu pro induktor. Vztah iv pro kondenzátor je (viz Obrázek 5): Obrázek 5 Pro kondenzátor iC(t)=CdvC(t)dt(11)iC(t)=CdvC(t)dt(11) Výraz v časové doméně pro napětí na kondenzátoru je: vC(t)=VCcos(ωt+θ)(12)vC(t)=VCcos⁡(ωt+θ)(12) Takové, že ddtvC(t)=−VCωsin(ωt+θ) =VCωcos(ωt+θ+π/2)=Re(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re[VC(jω)ejωt+θ]ddtvC(t)=−VCωsin⁡(ωt+θ)=VCωt+ω⁡(ω θ+π/2)=Re⁡(VCωejπ/2ejωt+θ)=Re⁡[VC(jω)ejωt+θ] Všimněte si, že výsledným efektem časové derivace je vytvoření dalšího (j ω) členu spolu s komplexní exponenciální vyjádření vC(t). Fázorový ekvivalent vztahu iv pro kondenzátor je tedy: IC=C(jω)VC(13)IC=C(jω)VC(13) Impedance induktoru se pak určí z definice impedance: ZC= VCIC=1jωC=−jωC(14)ZC=VCIC=1jωC=−jωC(14) Tedy: ZC=1jωC=−jωC=1ωC∠−π2(15)ZC=1jωC=−jωC=1πC∠− Impedance kondenzátoru je záporné, čistě imaginární číslo; to znamená, že má velikost 2/ωC ​​a fázi −π/15 radiánů neboli −1o, jak je znázorněno na obrázku 2. Stejně jako dříve je fáze impedance rovna fázovému rozdílu mezi napětím na prvku a proudem procházejícím stejným prvkem. V případě kondenzátoru se napětí zpožďuje za proudem o π/2 radiánů, což znamená, že rys (např. nulový bod) napěťového průběhu se objeví o T/4 sekundy později než stejný rys aktuálního průběhu . T je společná perioda každého tvaru vlny. Obrázek 6 Fázorový diagram impedance kondenzátoru. Pamatujte, že Z=V/L Všimněte si, že kondenzátor se také chová jako komplexní frekvenčně závislý rezistor, kromě toho, že jeho velikost 1/ωC ​​je nepřímo úměrná úhlové frekvenci ω. Kondenzátor tedy bude „brzdit“ tok proudu v nepřímé úměrnosti k frekvenci zdroje. Při nízkých frekvencích se kondenzátor chová jako otevřený obvod; při vysokých frekvencích působí jako zkrat. Zobecněná impedance Koncept impedance je velmi užitečný při řešení problémů analýzy střídavého obvodu. Umožňuje použít síťové teorémy vyvinuté pro stejnosměrné obvody na střídavé obvody. Jediný rozdíl je v tom, že k nalezení ekvivalentní impedance je třeba použít spíše komplexní aritmetiku než skalární aritmetiku. Obrázek 7 znázorňuje ZR(jco), ZL(jco) a ZC(jco) v komplexní rovině. Je důležité zdůraznit, že ačkoli je impedance rezistorů čistě skutečná a impedance kondenzátorů a induktorů je čistě imaginární, ekvivalentní impedance viděná zdrojem v libovolném obvodu může být složitá. Obrázek 7 Impedance R, L a C jsou zobrazeny v komplexní rovině. Impedance v pravém horním kvadrantu jsou induktivní, zatímco impedance v pravém dolním kvadrantu jsou kapacitní. Z(jω)=R+X(jω)(16)Z(jω)=R+X(jω)(16) Zde R je odpor a X je reaktance. Jednotkou R, X a Z je ohm. Přiznání Bylo navrženo, že řešení určitých problémů s analýzou obvodu bylo z hlediska vodivosti snadněji zvládnutelné než odpory. To platí například, když se používá analýza uzlů nebo v obvodech s mnoha paralelními prvky, protože vodivost v paralelním zapojení se přidává jako odpory v sérii. Při analýze střídavého obvodu lze definovat analogickou veličinu – převrácenou hodnotu komplexní impedance. Stejně jako byla vodivost G definována jako převrácená hodnota odporu, je admitance Y definována jako převrácená hodnota impedance: Y=1 jednotky S (Siemens)(17)Y=1 jednotky S (Siemens)(17) Kdykoli je impedance Z čistě Skutečná, admitance Y je totožná s vodivostí G. Obecně je však Y komplexní. Y=G+jB(18)Y=G+jB(18) kde G je střídavá vodivost a B je susceptance, což je analogie reaktance. Je zřejmé, že G a B jsou příbuzné R a X; vztah však není jednoduchý inverzní. Pokud Z = R + jX , pak je admitance: Y=1Z=1R+jX(19)Y=1Z=1R+jX(19) Vynásobte čitatele a jmenovatele komplexním sdruženým členem Z ̄ = R − jX: Y= ¯¯¯¯Z¯¯¯¯ZZ=R−jXR2+X2(20)Y=Z¯Z¯Z=R−jXR2+X2(20) a dospět k závěru, že G=RR2+X2(21)B=−XR2 +X2G=RR2+X2(21)B=−XR2+X2 Všimněte si zejména, že G není převrácená hodnota R v obecném případě! Našli jste apk pro Android?

Zanechat vzkaz 

Seznam zpráv